Un estudio de la función Zeta de Riemann Vía el análisis de la distribución de la nube de ceros de las sumas parciales

Abstract

Las funciones f(s) = Pn k=0 ake −λks con 0 = λ0 < λ1 < . . . < λn y ak ∈ C ∗ , conocidas como polinomios de Dirichlet, aparecen de manera natural en el estudio de diversas funciones zeta asociadas a problemas en análisis y aritmética, teniendo diversas propiedades, como la distribución de sus ceros en bandas verticales, la casiperiodicidad y otras. En particular, este es el caso de las llamadas sumas parciales de la función zeta de Riemann ζn(s) = Pn k=1 k −s , n ≥ 2, cuyos ceros se encuentran en bandas minimales de la forma ψn ≤ <(s) ≤ ϕn. Este trabajo aborda el estudio tanto del caso general de los polinomios de Dirichlet como de nuestro caso particular. En el aspecto numérico, elaboramos un método para el cálculo sistemático de los ceros de polinomios de Dirichlet y funciones más generales, implementado en C++ con librerías de computación paralela y multiprecisión, mejorando resultados anteriores de Velásquez, e incluyendo elementos como un método de exclusión. Realizamos el cálculo intensivo de ceros de ζn(s) y elaboramos diversas estadísticas para la estimación de la banda que contiene las partes reales de los ceros [ψn, ϕn], resaltando la definición de una función de distribución de los ceros de las partes reales y su interpretación. Estudiamos los extremos del intervalo [ψn, ϕn], estudiando por un lado los ceros reales de funciones torcidas en línea con el trabajo de (Velasquez Castanon, 2008), y por otro lado los llamados ceros especiales de ζn(s), utilizando para esto el algoritmo LLL, evidenciando el vínculo con problemas diofánticos. En el aspecto analítico, estudiamos la influencia de la casiperiodicidad de los polinomios de Dirichlet en sus ceros en el caso general, y el estudio de la distribución acumulada asintótica de las partes reales de los ceros, verificada como un límite convergente, así como la relación de la suma parcial ζn(s) con un polinomio multivariable Pn(z1, z2, . . . , zπ(n)) cuyos valores se relacionan, en línea con los trabajos de Montgomery y Bohr. En particular, demostramos la irreducibilidad de dicho polinomio asociado.